球速新闻

　　可知，受到相应的力 就会在相应的方向产生动量（速度）的变化。因此可以判断出，由于摩檫力的影响(实际情况必须要考虑形变，否则这里的摩檫力 将只影响绕质心的旋转，并不会改变质心速度。)，(b) 和 (c) 的出射速度在水平台面上的分速度大小就会分别比 小和大，也就是图2(d) 中所示的 和 。考虑到速度的方向就是相应轨迹切线的方向，且忽略空气阻力之后就是一个简单的平抛运动，故而不难判断出与图2中 (a)、(b) 和 (c) 三种旋转情况相对应的运动轨迹即为图2 (e)中的 a 、b 和 c 三条虚线。显然，相对于不转球的出射弧线 a，上旋球（弧线 c）表现为更往前“冲”，下旋球（弧线 b）表现为“不往前走球”。甚至如果乒乓球的下旋足够强，那么出射弧线 b 可能直接“向后跳”。乒乓球技术中有一种会自动往回跳的发球——

　　下面我们来分析上下旋对乒乓球弧线中的 (a) 和 (b) 两种情况。为了便于分析，我们将这两个乒乓球的北极点和南极点分别记为 、 和 、 ，（相对于地面静止系）质心速度的大小记为 ，绕质心转动角速度的大小记为 ，乒乓球的半径记为 。容易知道，对于下旋球而言， 和 处速度的大小不同，具体为由于流体的黏滞性，因此对于图4 (a) 中的下旋球，其上半球面附近的空气流速大小将明显小于下半球面。根据流体力学中的伯努利方程可知，流速快的地方压强小，流速小的地方压强大，因此会导致整体上上半球面的压强大于下半球面的压强，相应的会产生一个向下的力，这个力通常被称为马格努斯力[5]，记为 。上旋球的情况如图4(b)所示，此时的马格努斯力的方向是竖直向上。这两个马格努斯力都会导致乒乓球在竖直方向的加速度大小偏离重力加速度 ，即上 旋 下 旋 同时，上下旋球在竖直方向的加速度与 的偏离程度显然和角速度 相关，随着空气阻力导致角速度的不断减小，最终 上 旋 和 下 旋 都会趋近于 。

　　我们现在来分析在这种马格努斯力的作用下乒乓球的运动学。考虑图3(e) 所示的以 为初速度的乒乓球。将它的运动分为竖直方向和水平方向两部分，容易知道，水平方向就是一个简单的匀速直线运动，速度为 ；竖直方向初速度为 （大小记为 ），对于上旋、不转和下旋，相应的加速度大小分别为 上 旋 、 和 下 旋 ，它们满足方程(3)。同时，随着时间增加， 上 旋 不断增加趋于 ， 下 旋 不断减小也趋于 。(真实的物理情况会更加复杂，一般乒乓球在刚离开球拍和台面时 会先迅速增加，随后才开始降低，我们这里讨论的是简化的情况。)为了便于分析，我们将竖直方向的运动分为上升期和下降期，分别对应从A点出发到达最高点和从最高点开始下落回到和A同一水平高度，并且认为在这两个时期竖直方向的加速度是近似恒定的，分别记为 上 升 和 下 降 。考虑到马格努斯力随着时间而减小，自然有上 升 上 旋 下 降 上 旋 下 降 下 旋 上 升 下 旋 相应的 关系如图4所示。考虑到加速度关系(4)可得

　　在第2部分我们介绍了上下旋球与球拍面的相互作用，会发现如果采用接不转球的方式来接上旋球，出球的弧线会明显冒高，更容易出界；对于下旋球则出球的弧线会更低（甚至直接向下），更容易下网。那么应该如何来接呢？以下旋球为例，大体上我们有两种接法。第一种接法如图7(a)所示——改变拍面倾角[4]。原本接下旋球时出球弧线低，那么我们就拍面后仰，接触球中下部（这样接不转球会冒高），这样相当于将弧线抬高，从而避免下网。选择这种接法时，我们通常也会给球拍施加与旋转方向相反的切向速度（即图7(a)中的 ）去摩擦球，从而使得回球仍然是下旋，这就是搓球。搓球是乒乓球技术里非常关键的一部分，也是公园、小区大爷们取胜的不二法门，业余圈通常将以搓球为主的打法称为——铁搓；第二种接法如图7(b)所示——

　　。因为摩檫力来源于球和球拍接触点 的相对速度，如果我们增加挥拍速度，使得球拍和球在接触点 几乎没有相对速度，这样球相对球拍就几乎没有旋转，因此可以大大减小摩檫力，甚至让原来的下旋球在与球拍相互作用时效果相当于上旋球。这种接球方式在乒乓球技术中被称为——起下旋。因为它要求我们在球拍触球时有合适的沿着拍面的切向速度，而且切向速度不能过大——过大的时候来球就相当于一个强上旋，会容易出界。因此，起下旋是乒乓球里的高级技术，如果能够非常稳定的起下旋，那么可以不夸张地说，你能打赢我们这个乒乓球大国里至少百分之九十的业余球手。上旋球的接法也可以通过类似分析得到。要接好这些旋转球有一个非常重要的前提——首先要判断好来球的旋转以及

　　挥拍速度。由此出发，我们自然会想到一个关键问题——如何最快地挥拍？或者说怎样做才能最大程度地发力？我们通过一个简单的前臂和手腕运动来说明这个问题。如图8(a) 所示，我们将前臂和手腕简化为两条线，分别为 和 ，点 和 分别对应肘关节和腕关节。假设身体的其他部位相对地面静止，也就是说我们只能控制 和 ，且肘关节 相对地面也是静止的。现在我们考虑如何才能使挥拍速度最大？或者说如何使得 点达到最大速度？由上式两边同时对时间求导，可得其中 即为此时的挥拍速度， 和 分别为前臂相对肘关节的角速度和手腕相对腕关节的角速度（它们的大小记为 和 ）， 、 和 为相应点之间的位矢。对于前臂绕轴关节旋转和手腕绕腕关节旋转，相应角速度的大小一般存在一个上限，这里分别记为 和 。 和 的大小对应前臂和手腕的长度，是确定的。因此，显然有此方程的物理含义是：如果我们想要挥拍速度达到最大值，那么就需要让前臂相对肘关节的角速度和手腕相对腕关节的角速度同时达到最大值，且这个时候前臂和手腕处在同一条直线上！我们如何才能使得 (8) 式中的等号成立（挥拍速度达到最大值）呢？一个简单的方案是—— 时刻，前臂和手腕都处在静止状态，相应的位于图8(b) 中的 和 位置，且 ；在 期间，我们开始挥动前臂，即前臂 绕肘关节 旋转至 、角速度的大小不断增加至 ，整个过程中手腕处在一种完全放松状态（ ）。因为惯性，手腕将被甩在前臂的后面，相应的位于图8(b) 中的 位置。当然，此过程中前臂的角速度并没有加速达到最大值，即 ；之后 期间，在保持前臂旋转速度大小 增加的情况下开始挥动手腕，即角速度的大小 不断增加；最后在 时刻，也就是前臂和手腕处在同一条直线(b) 中的 和 位置处），前臂相对肘关节的角速度和手腕相对腕关节的角速度同时达到最大值，即 和 。因此，通过上述过程，理论上我们就达到了生理上的最大挥拍速度。